Bonjour à tous, je vous propose une petite étude que j’ai faite sur le thème du nombre de lignes en portefeuille.

Pour faire cette étude j’ai utilisé une base de données de 500 actions US prises au hasard parmi les 3000 plus grandes capitalisations disponible sur le marché US à l’époque, ce qui est plus réaliste que de prendre la composition d’un indice et donc avoir un biais uniquement sur les grosses valeurs, en effet l’échantillon intègre aussi les small caps. J’ai utilisé un historique de cotation sur la période 2007 à 2016 afin de couvrir le krach de 2008 et le marché haussier qui a suivi. J’ai généré un total de 2900 portefeuilles d’actions, en buy and hold, composés de 2 à 30 lignes différentes.

J’ai décidé de me focaliser sur 4 indicateurs, le rendement CAGR, la volatilité historique, le max drawdown et le ratio de Sharpe. Pour le ratio de Sharpe je me suis simplifié la vie en faisant l’hypothèse de taux constant sur la période à 2% l’an.

Quelques liens pour comprendre:

On va commencer par une mise en bouche, avec la matrice de corrélation des paramètres

Pour mémoire, si le taux de corrélation est proche de 1 il y a un lien très fort et positif, à 0 aucun lien et à -1 un lien très fort à l’inverse.

Le lien entre le nombre de ligne et les 4 indicateurs est faible, augmenter le nombre de lignes semble avoir un léger effet sur le ratio de Sharpe (meilleur rendement/risque), et le max drawdown (risque de perte maximal). L’effet sur le rendement est vraiment faible et l’effet sur la volatilité est assez important, augmenter la taille du portefeuille diminue surtout la volatilité.

Le rendement CAGR augmente légèrement avec une baisse de volatilité, très fortement avec le ratio de Sharpe (qui est une mesure de gain en fonction du risque pris, donc c’est normal) et un peu avec le max drawdown (c’est plus difficile de performer lorsque l’on n’a une grosse perte à rattraper).

La volatilité à un effet sur le ratio de Sharpe, qui se traduit par plus de risque = baisse de celui-ci ce qui est normal. Et un fort impact sur le max drawdown, un portefeuille fortement volatile a plus de chance de chuter.

Un ratio de Sharpe élevé se traduit par un gain élevé et une perte maximum faible ce qui est normal. La volatilité comme dit plus haut le dégrade.

C’est bien beau tout cela, on arrive à se faire une idée de l’influence de chaque paramètre, mais ce n’est pas parfait la matrice est faite sur la moyenne de tous les portefeuilles, donc on ne voit pas les cas extrêmes qui sont plus intéressant. Et on sait que l’on a de fortes chances d’être un jour ou l’autre dans le cas extrême.

On rentre dans le détail, CAGR vs nombre de lignes

Dans le graphique ci-dessous, on a en abscisse le nombre de lignes d’un portefeuille, en ordonnée le rendement CAGR, chaque point représente un portefeuille. La droite bleu est la droite de régression linéaire.

Ce que l’on ne voyait pas dans la matrice de corrélation est que plus on a de titre dans un portefeuille, plus on sera proche de la moyenne et donc moins on aura de chance de faire une performance exceptionnelle ou à contrario une perte exceptionnelle. Sur un horizon de détention assez long (9 ans) on voit qu’il est assez difficile de finir avec une performance négative, même avec une sélection au hasard sur un portefeuille suffisamment gros.

Je vous propose un graphique un plus lisible que l’on utilisera encore par la suite. Le graphique en boxplot, https://fr.wikipedia.org/wiki/Bo%C3%AEte_%C3%A0_moustaches

Comme on le voyait précédemment, le rendement médian augmente et la dispersion du rendement des portefeuilles se réduit lorsque l’on augmente le nombre de lignes. Avoir un gros portefeuille vous garantit un certain rendement, mais vos chances de faire une performance élevée se réduisent fortement.

Le lien entre la volatilité et le nombre de lignes

Plus un portefeuille est composé de lignes différentes, plus sa volatilité va baisser et moins on va s’écarter de la volatilité moyenne du marché. Une remarque que j’aurais pu faire précédemment, arrivé à un certain stade augmenté le nombre de ligne en portefeuille aura de moins en moins d’impact sur la volatilité et le rendement. Si on souhaité réduire encore plus sa volatilité ou augmenter son rendement, il faudra ajouter d’autre classe d’actif.

Max drawdown et nombre de lignes

Plus votre portefeuille est important, moins vous aurez de chance de finir en faillite. Mais il chutera quand même fortement, les actions ne protègent pas des krachs et sont toutes plus ou moins corrélé entre elle (on va le voir plus bas dans l’article), donc le seul moyen d’éviter les cauchemars la nuit dans un marché baissier comme en ce moment, est d’avoir soit recourt à une couverture, soit d’avoir d’autres classes d’actifs.

Une synthèse avec le ratio de Sharpe vs le nombre de lignes.

Ce graphique résume bien la situation, plus vous avez de ligne en portefeuille, plus vous aurez de chance de faire une bonne performance à moindre risque. Donc un investisseur prudent où stresser devra tenter de suivre le marché avec un portefeuille bien rempli. Un portefeuille plus petit pour un investisseur talentueux ou chanceux permettrait de faire un meilleur ratio performance/risque, mais avec une probabilité de réussite moindre.

Un dernier point….

Voici la matrice de corrélation d’un portefeuille d’actions de 50 lignes généré au hasard sur la même période :

Si on prend la ligne GOOG (Google) on a 15 titres ayant une très forte corrélation avec Google > 0.8, avec une corrélation significative (>0.5) on a 28 titres sur 50, et au total 38 lignes on au moins une corrélation supérieure à 0.1. Donc vous comprendrez que lorsque vous ajoutez un nouveau titre à votre portefeuille, vous n’ajoutez pas forcément de l’information supplémentaire (diversification, baisse du risque, etc…), si celui-ci est fortement corrélé à votre portefeuille, d’où au bout d’un certain nombre de ligne un manque d’amélioration des indicateurs que nous avons vu (risque et rendement). Évidement, il ne faut pas utiliser une matrice de corrélation telle quelle, l’idée était de présenter une analyse simple et lisible, en effet, on sait que sur cette période Google a eu une performance très élevée, c’est peut-être au contraire une bonne chose d’avoir d’autres titres fortement corrélés comme Adobe, et de retirer des titres comme Pure ayant eu une performance désastreuse. 

Et pour tenter de conclure, il faut 13 titres…

Ce graphique est complexe, mais tente d’offrir une réponse à la question. Pour le faire, j’ai utilisé en abscisse le nombre de lignes d’un portefeuille, en ordonnée le ratio de Sharpe. J’ai donc décidé de me baser sur le ratio de Sharpe pour prendre cette décision (c’est une bonne synthèse du rapport entre risque et gain) mais on aurait pu faire une PCA des paramètres d’avant ou se baser sur un autre indicateur uniquement. Donc avoir fait ce choix est un biais. Une fois les données chargées, j’ai calculé une régression polynomiale sur les données, affiché en rouge, ensuite, j’ai tracé une droite en vert pour relier le point de départ de la régression et le point d’arriver. J’ai ensuite calculé pour chaque pas l’écart entre la droite verte et la courbe rouge pour trouver où l’écart est le plus important, représenter par la droite bleu sur le graphique. Avant la droite bleu chaque titre apporté améliore significativement le ratio de Sharpe, à partir de la droite bleu l’effet est de plus en plus faible. Donc d’après cette méthode le nombre de titres idéal en portefeuille est 13.

Évidement, vous l’aurez compris, le nombre de titres idéal, dépend aussi bien de la méthode utilisée pour le déterminer, que de votre aversion au risque ou votre objectif de rendement.

J’espère que cet article vous a plus, d’autres suivront.